2022年國家公務員行測備考技巧-一元二次函數求極值
2021-10-07 19:22 廣東公務員考試網 來源：國家公務員考試網 
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極值問題是近年來的考試熱點，出題人越來越傾向于考察極限思維。在行測考試中，對于極值問題的考察，有些題目是要通過一元二次方程去求最大/最小值的。這種題型快速求解需要我們掌握一種新的方法。
在講這種方法之前，我們先回顧一個高中的知識點：
均值不等式：兩個數a，b和一定時，乘積有最大值：并且當a=b時，ab乘積取最大。
這時，大家可能還有點疑惑，這個知識點究竟有什么用處呢?華圖教育通過下面這個例題來看看它的用法。
例題
某商店出售A商品，若每天賣100件，則每件可獲利6元。根據經驗，若A商品每件漲1元錢，每天就少賣10件。為使每天獲利最大化，A商品應漲價多少元。
【華圖解析】題目中A商品的銷量是隨著價格而變化的，想讓利潤最大化，而利潤=單件利潤X數量，所以在這個題中，我們實際上是要求乘積的最大值。
每件漲1元，每天就少賣10件，那假設漲了X元，每天就會少賣10X件。
所以漲價后的利潤=(6+X)(100-10X)
整理得： 利潤=10(6+X)(10-x)，求這個一元二次方程得最大值。
根據前面的均值不等式，可以把6+X當成a，10-X當成b，
此時 利潤=10ab
a+b=6+X+10-X=16為定值，那么在a=b時，ab最大，10ab也最大
解得a=b=8，X=2，漲價2元時，利潤最大
這就是上題的求解過程，實際上為借助均值不等式來對一元二次方程求極值。
同時，我們可以看看對一元二次方程求極值題目的另一些考法，例如下面的這個例題。
例題
某汽車坐墊加工廠生產一種汽車坐墊，每套的成本是144元，售價是200元。一個經銷商訂購了120套這種汽車坐墊，并提出：如果每套坐墊的售價每降低2元，就多訂購6套。按經銷商的要求，該加工廠獲得最大利潤需售出的套數是多少?
【華圖解析】這個題跟上一個題類似之處是同屬利潤問題，而不同點在于它是讓我們求數量為多少，我們知道銷量跟降價幅度是相關的，所以同樣可以先把最大利潤時的降價情況求出來，進而求出銷量。
根據題目已知條件，每套的利潤為200-144=56元，每降價2元，多賣6套，那假設降了2x元，則會多賣6套。
利潤=單件利潤X數量=(56-2x)(120+6X)=12(28-X)(20+X)
令28-X=a，20+X=b;a+b=28-x+20+x=48為定值，那在a=b時，ab最大，利潤也最大。
此時a=b=24，X=4.
降價4X2=8元，最大利潤時：售價=56-2X4=48，銷量=120+6X4=144。
根據上面兩個題的講解，我們來總結一下一元二次方程的解題步驟：
1、根據題干中的條件列出方程;
2、把X前的系數變成相同的一正一負;
3、借助均值不等式性質求解。
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（編輯：廣東華圖）
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